Matematika SMA

Siapa yang tidak ingin berhasil dalam menempuh Ujian Nasional? Tentu saja semua orang menginginkan dapat meraih kesuksesan. Untuk mencapai kesuksesan tersebut diperlukan kerja keras, usaha dan do'a.
Sebenarnya ujian yang dilaksanakan sekarang lebih menguntungkan peserta didik daripada ujian-ujian yang dilaksanakan masa lalu, khususnya dalam hal menghadapi soal-soal ujian, karena kisi-kisi ujian diberitahukan kepada peserta didik. Maka dengan kisi-kisi soal yang ada itulah peserta didik bisa mengatur strategi belajarnya dengan lebih fokus. Sebagaimana kita ketahui bahwa butir-butir soal disusun berdasarkan indikator-indikator yang terdapat dalam kisi-kisi.
Nah, bagaimana mengatur strategi belajar? Berikut ini saya berikan tayangannya. Semoga bermanfaat.

Cara Cerdas Menghadapi Ujian

View more presentations from Darminto WS

Sekalilagi saya ingatkan, fokuslah pada pernyataan-pernyataan yang tercantum dalam indikator, karena soal-soal ujian disusun berdasarkan pernyataan-pernyataan yang tercantum dalam indikator tersebut.
Selamat mempersiapkan diri dan semoga berhasil dalam menempuh ujian.

Materi Vektor bagi sebagian siswa dianggap materi yang sulit, padahal didalam kisi-kisi soal Ujian Nasional Matematika SMA Program Studi IPA tahun pelajaran 2011/2012, khususnya untuk materi vektor, terdapat tiga indikator, yaitu :

Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Oleh karena itu, disini akan saya berikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.

Ringkasan Materi

Sudut Antar Dua Vektor.Apabila $\fn_cm \theta$ merupakan sudut antara vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ dan vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ maka
$\fn_cm \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$

Harus diingat pula bahwa, misalkan :
$\fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\a_{3} \end{pmatrix}$ $\fn_cm ; \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \end{pmatrix}$
$\fn_cm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

$\fn_cm |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\: dan\: |\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}$

Proyeksi.
Panjang proyeksi vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ (proyeksi skalar) adalah :
$\fn_cm |\overrightarrow{c}|=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
Proyeksi vektor orthogonal atau proyeksi vektor dari vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ adalah :
$\fn_cm \overrightarrow{c}=\left ( \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^{2}} \right ).\overrightarrow{b}$

Contoh soal dan pembahasannya :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = ....
$\inline \fn_cm A.\: \pi \: \:\:\: \:\: \: B.\: \frac{\pi }{2}\:\: \: \: \:\: \: C.\: \frac{\pi }{3}\: \: \: \: \: \: \: D.\: \frac{\pi }{6}\:\: \: \: \: \: \: E.\: 0$
Ujian Nasional 2010/2011)
Penyelesaian :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4).
$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix},\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-1 \end{pmatrix},dan \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \theta$ adalah besar sudut ABC, hal ini berarti $\inline \fn_cm \theta$ adalah sudut antara vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}$ dan vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\2\\4 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4 \\2\\-4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3\\-3 \end{pmatrix}$
sehingga :
$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|.\overrightarrow{BC}|}=\frac{(3.2)+(2.3)+(4.-3)}{\sqrt{(3)^2+(2)^2+(4)^2}\: .\: \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2}}$
$=\frac{6+6-12}{\sqrt{9+4+16}.\sqrt{4+9+9}}=\frac{0}{\sqrt{29}.\sqrt{22}}=0$
$\cos \theta =0$ maka $\theta =\frac{\pi }{2}$
Jawaban : B
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ . Proyeksi vektor orthogonal vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ adalah ....
$\inline \fn_cm A.\: \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm B.\: \overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm C.\: \overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm D.\: 2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm E.\: 6\overrightarrow{i}-8\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$
(Ujian Nasional 2010/2011)

Penyelesaian :

$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 4\\-2\\2 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 2\\-6\\4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor orthogonal vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{b}$ maka :
$\inline \fn_cm \overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b}$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{(4.2)+(-2.-6)+(2.4)}{\left ( \sqrt{2^2+6^2+4^2} \right )^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{8+12+8}{2^2+6^2+4^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\frac{28}{56}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$
Jawaban : B